17.已知方程$arctan\frac{x}{2}+arctan(2-x)=a$;
(1)若$a=\frac{π}{4}$,求$arccos\frac{x}{2}$的值;
(2)若方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若方程在區(qū)間[5,15]上有兩個相異的解α、β,求α+β的最大值.

分析 (1)兩邊取正切列方程解出x,從而可求出arccos$\frac{x}{2}$的值;
(2)兩邊取正切得出tana關(guān)于x的函數(shù),利用不等式得出tana的范圍,從而得出a的范圍;
(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組得出tana的范圍,利用根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β的最值.

解答 解:(1)當(dāng)$a=\frac{π}{4}$時,arctan$\frac{x}{2}$+arctan(2-x)=$\frac{π}{4}$,
∴$\frac{\frac{x}{2}+(2-x)}{1-\frac{x}{2}•(2-x)}=1$,解得x=-1或x=2,
∴當(dāng)x=-1時,$arccos\frac{x}{2}$=arccos(-$\frac{1}{2}$)=π-arccos$\frac{1}{2}$=$\frac{2π}{3}$;
當(dāng)x=2時,arccos$\frac{x}{2}$=arccos1=0,
(2)∵$arctan\frac{x}{2}+arctan(2-x)=a$,
∴tana=$\frac{\frac{x}{2}+(2-x)}{1-\frac{x}{2}(2-x)}$=$\frac{4-x}{{x}^{2}-2x+2}$
當(dāng)x=4時,tana=0,
當(dāng)x≠4時,tana=$\frac{1}{4-x+\frac{10}{4-x}-6}$,
∵4-x+$\frac{10}{4-x}$≥2$\sqrt{10}$或4-x+$\frac{10}{4-x}$≤-2$\sqrt{10}$,
∴0<tana≤$\frac{1}{2\sqrt{10}-6}$或$\frac{1}{-2\sqrt{10}-6}$≤tana<0,
綜上,$\frac{1}{-2\sqrt{10}-6}$≤tana≤$\frac{1}{2\sqrt{10}-6}$,
∴a∈$[arctan\frac{1}{{-2\sqrt{10}-6}},arctan\frac{1}{{2\sqrt{10}-6}}]$.
(3)由(2)知$\frac{4-x}{{x}^{2}-2x+2}$=tana在[5,15]上有兩解α,β,
即tana•x2+(1-2tana)x+2tana-4=0在[5,15]有兩解α,β,
∴α+β=$\frac{2tana-1}{tana}$=2-$\frac{1}{tana}$,
∴△=(1-2tana)2-8tana(tana-2)=-4tan2a+12tana+1>0,解得$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$<tana<$\frac{3+\sqrt{10}}{2}$且tana≠0.
①若tana>0,則對稱軸$\frac{2tana-1}{2tana}$=1-$\frac{1}{2tana}$<1,方程在[5,15]上不可能有兩解,不符合題意,舍去;
②若tana<0,令5<1-$\frac{1}{2tana}$<15,解得-$\frac{1}{8}$<tana<-$\frac{1}{28}$,
又$\left\{\begin{array}{l}{25tana+5(1-2tana)+2tana-4≤0}\\{225tana+15(1-2tana)+2tana-4≤0}\end{array}\right.$,解得tana≤-$\frac{1}{17}$,
綜上,$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$<tana≤-$\frac{1}{17}$,
∴當(dāng)tana=-$\frac{1}{17}$時,α+β取得最大值2+17=19.

點(diǎn)評 本題考查了反三角函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

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(2)隨機(jī)抽取8位,他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排序是:60,65,70,75,80,85,90,95,物理分?jǐn)?shù)從
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學(xué)生編號12345678
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物理分?jǐn)?shù)y7277808488909395
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