Question

9．班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析，決定從全班25名男同學(xué)，15名女同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（只要求寫(xiě)出計(jì)算式即可，不
必計(jì)算出結(jié)果）
（2）隨機(jī)抽取8位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分?jǐn)?shù)從
小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．
①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均
為優(yōu)秀的概率；
②若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如表：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，由變量y與x的相關(guān)系數(shù)可知物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）．
參考公式：回歸直線的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，
參考數(shù)據(jù)：$\overline x=77.5$，$\overline y=84.875$，$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$≈1050，$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$≈688，．

Answer 1

分析 （1）從25名男同學(xué)中選$\frac{25}{40}×8$位，從15名女同學(xué)中選$\frac{15}{40}×8$位，即可得出樣本的種數(shù)．
（2）①?gòu)?為同學(xué)中恰有3為同學(xué)的數(shù)學(xué)與物理均為優(yōu)秀，從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選3個(gè)與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，種數(shù)是${A}_{4}^{3}$，然后將剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，種數(shù)是${A}_{5}^{5}$，根據(jù)乘法原理可得滿足條件的種數(shù)，這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分布對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有${A}_{8}^{8}$種，即可得出所求的概率．
②設(shè)y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出$b≈\frac{688}{1050}≈0.66$，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，可得y與x的線性回歸方程．

解答 解：（1）從25名男同學(xué)中選$\frac{25}{40}×8$=5位，從15名女同學(xué)中選$\frac{15}{40}×8$=3位．
可以得到${∁}_{25}^{5}$×${∁}_{15}^{3}$個(gè)不同的樣本．
（2）①?gòu)?為同學(xué)中恰有3為同學(xué)的數(shù)學(xué)與物理均為優(yōu)秀，從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選3個(gè)與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，種數(shù)是${A}_{4}^{3}$，然后將剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，種數(shù)是${A}_{5}^{5}$，根據(jù)乘法原理可得：滿足條件的種數(shù)是${A}_{4}^{3}{A}_{5}^{5}$，這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分布對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有${A}_{8}^{8}$種，故所求的概率P=$\frac{{A}_{4}^{3}•{A}_{5}^{5}}{{A}_{8}^{8}}$=$\frac{1}{14}$．
②設(shè)y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出$b≈\frac{688}{1050}≈0.66$，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，所以y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.66x+33.73．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分層抽樣、組合計(jì)算公式、乘法原理、古典概率計(jì)算公式、線性回歸方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．