Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，x＜-1}\\{-1+{2}^{x}，x≥-1}\end{array}\right.$，若不等式f（x）＞a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 求得f（x）的值域，運用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得，再由不等式恒成立思想即可得到所求a的范圍．

解答 解：當x＜-1時，f（x）=x²-2遞減，
可得f（x）＞f（-1）=1-2=-1；
當x≥-1時，f（x）=2^x-1遞增，
可得f（x）≥f（-1）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$．
綜上可得，f（x）的值域為（-1，+∞）．
由不等式f（x）＞a恒成立，
即有a≤-1．
則a的范圍是（-∞，-1]．
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為值域問題，運用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．