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18.已知點(diǎn)P,Q是拋物線y2=4x上兩點(diǎn),且OPOQ=0(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則直線PQ過定點(diǎn)(4,0).

分析 設(shè)出P,Q的坐標(biāo),討論當(dāng)直線斜率存在時(shí),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用消元法得到關(guān)于x的一元二次方程,由OPOQ=0,得x1x2+y1y2=0,建立關(guān)于參數(shù)k,b的關(guān)系,消去b可得直線恒過(4,0);當(dāng)直線斜率不存在時(shí),由對(duì)稱性直接得到OP所在直線方程,與拋物線方程聯(lián)立求得P的坐標(biāo),說明PQ過定點(diǎn)(4,0).

解答 解:設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
當(dāng)過P、Q的直線l存在斜率時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+b,顯然k≠0且b≠0.
聯(lián)立方程得:{y=kx+by2=4x,消去y得k2x2+(2kb-4)x+b2=0.
則x1x2=2k2
由y12=4x1,y22=4x2,
則y1y2=4•k,
OPOQ=0,則x1x2+y1y2=0,
2k2+4bk=0,
解得b=0(舍去)或b=-4k,
故直線l的方程為:y=kx-k=k(x-4),故直線過定點(diǎn)(4,0);
當(dāng)過P、Q的直線l的斜率不存在時(shí),由題意可得,OP所在直線方程為y=x,
聯(lián)立{y=xy2=4x,解得P(4,4),由此可知直線PQ過點(diǎn)(4,0).
綜上可知,直線PQ過定點(diǎn)(4,0).
故答案為:(4,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量垂直的條件,同時(shí)考查直線與拋物線的位置關(guān)系,以及證明直線恒過定點(diǎn),屬于中檔題.

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