Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}}$）-4sin²ωx+2（{ω＞0}），其圖象與x軸相鄰的兩個交點的距離為$\frac{π}{2}$．
（I）求函數(shù)的f（x）解析式；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個長度單位得到函數(shù)g（x）的圖象恰好經(jīng)過點（${-\frac{π}{3}$，0），求當(dāng)m取得最小值時，g（x）在[${-\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}}$]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用兩角差的正弦公式、二倍角及輔助角公式將f（x）化簡，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，求得ω的值，求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用三角恒等變換規(guī)律，求得m的值，求得g（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)求得函數(shù)g（x）在[${-\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}}$]上的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（I）f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}}$）-4sin²ωx+2，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-4×$\frac{1-cos2ωx}{2}$+2，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{3}{2}$cos2ωx，
=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由已知函數(shù)f（x）的周期T=π，
$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個長度單位，
g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$），
函數(shù)經(jīng)過（${-\frac{π}{3}$，0），
∴$\sqrt{3}$sin[2×（-$\frac{π}{3}$）+2m+$\frac{π}{3}$]=0，
即sin（2m-$\frac{π}{3}$）=0，
∴2m-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴m=$\frac{k}{2}π$+$\frac{π}{6}$，
∵m＞0，
∴當(dāng)k=0，m取最小值，此時最小值為$\frac{π}{6}$，
g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
令-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{12}$，則$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，
當(dāng)$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{6}$≤x≤-$\frac{π}{12}$時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)$\frac{3π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，即$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{7π}{12}$時，g（x）單調(diào)遞增；
∴g（x）在[${-\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}}$]上的單調(diào)區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{12}$]，[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]．

點評 本題考查三角恒等變換公式，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．