Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a，b，c，其中b=6，△ABC的面積為15．其外接圓半徑為5．
（1）求sin2B的值；
（2）求△ABC的周長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：（1）由正弦定理可得sinB=

b

2R

=

3

5

．又由S=

1

2

acsinB=15．且ac=50＞b²，可知∠B是銳角，即可求cosB=

4

5

，從而可得sin2B的值．
（2）由（1）及余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4

5

，即可解得a+c的值，從而可求△ABC的周長．

解答： 解：（1）由正弦定理得，

b

sinB

=2R，
∴sinB=

b

2R

=

3

5

．
又∵△ABC的面積為15，
∴S=

1

2

acsinB=15．
∴ac=50＞b²．
∴a，c有一個比b大，
即∠B是銳角，
∴cosB=

4

5

，
∴sin2B=2sinBcosB=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

．
（2）由（1）及余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4

5

，
∴a²+c²=116，
∴（a+c）²=216，
∴a+c=6

6

，
∴△ABC的周長為a+b+c=6+6

6

．
故答案為：6+6

6

．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理的應用，三角形面積公式和大邊對大角的應用，屬于難題．