Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），F(xiàn)是C的焦點，縱坐標為2的定點M在拋物線上，且滿足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{MF}$=-4，過點F作直線l與C相交于A，B兩點，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求曲線C的方程；
（2）設l的斜率為1，求$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的大�。�
（3）設$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{AF}$，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）設M及F點坐標，求得向量$\overrightarrow{OM}$和$\overrightarrow{MF}$，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標表示求得p的值，即可求得拋物線方程；
（2）先根據(jù)拋物線方程求得焦點的坐標，進而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去，根據(jù)韋達定理及平面向量的數(shù)量積運算，可求$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值；
（3）由向量數(shù)量積的坐標表示，得${y}_{2}^{2}$=λ²${y}_{1}^{2}$，由點A和B在拋物線上，得到B的坐標，根據(jù)焦點坐標可得直線的方程，進而求得直線在y軸上的截距，判斷g（λ）=$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$，在[4，9]上是單調(diào)遞減，即可l在y軸上截距的變化范圍．

解答 解：（1）由題意可知M坐標為（$\frac{4}{2p}$，2），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0）
由$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{4}{2p}$，2），$\overrightarrow{MF}$=（$\frac{{p}^{2}-4}{2p}$，-2），
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{MF}$=-4，即$\frac{4}{2p}$×$\frac{{p}^{2}-4}{2p}$-4=-4，解得：p=2，
曲線C的方程y²=4x；
（2）拋物線C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，
∴l(xiāng)的方程為y=x-1，
將y=x-1代入方程y²=4x整理得：x²-6x+1=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，
∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=-4，
cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{丨\overrightarrow{OA}丨丨\overrightarrow{OB}丨}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}•\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}}$=-$\frac{3\sqrt{41}}{41}$，
$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值為-$\frac{3\sqrt{41}}{41}$；
（3）由題設得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），
即x₂-1=λ（1-x₁），y₂=-λy₁，
整理得：${y}_{2}^{2}$=λ²${y}_{1}^{2}$，
∵${y}_{1}^{2}$=4x₁，${y}_{2}^{2}$=4x₂，
∴x₂=λ²x₁，
∴x₂=λ根據(jù)題意有λ＞0，
∴B（λ，2$\sqrt{λ}$）或B（λ，-2$\sqrt{λ}$），
又F（1，0），
得直線l的方程為（λ-1）y=2$\sqrt{λ}$（x-1）或（λ-1）y=-2$\sqrt{λ}$（x-1），
當λ∈[4，9]，時，l在y軸上的截距為$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$或-$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$，
設g（λ）=$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$，λ∈[4，9]，
∴g（λ）=$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$，在[4，9]，上是遞減，
∴$\frac{3}{4}$≤$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$≤$\frac{4}{3}$或-$\frac{4}{3}$≤-$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$≤-$\frac{3}{4}$，
∴直線l在y軸上截距的變化范圍為$\frac{3}{4}$≤$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$≤$\frac{4}{3}$或-$\frac{4}{3}$≤-$\frac{2\sqrt{λ}}{λ-1}$≤-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標表示，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．