Question

17．已知正三棱錐P-ABC底面邊長(zhǎng)為6，底邊BC在平面α內(nèi)，繞BC旋轉(zhuǎn)該三棱錐，若某個(gè)時(shí)刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，則此三棱錐高的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\sqrt{6}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$\sqrt{6}$，3]
• C． （0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• D． （0，$\sqrt{6}$]∪[3，$\frac{3\sqrt{6}}{2}$]

Answer 1

分析 本題需要考慮兩種情況：△PBC在平面α內(nèi)的投影和△ABC在平面α內(nèi)的投影．

解答 ①考慮兩個(gè)極端情況：
（i）當(dāng)△PBC在α內(nèi)時(shí)，可求得PB=3$\sqrt{2}$，此時(shí)高h(yuǎn)=$\sqrt{6}$．
（ii）當(dāng)△ABC與α垂直時(shí)，棱錐的高恰好為等腰直角三角形的高，為h=3，
故此時(shí)h∈[$\sqrt{6}$，3]．
②當(dāng)△PBC與α垂直時(shí)，如圖所示
D為BC的中點(diǎn)，AM⊥PD，AN⊥α．
故PA=a，易得AM=DN=3，AN=BN=CN=3$\sqrt{2}$，
故PM=PD-MD=$\sqrt{{a}^{2}-9}$-3$\sqrt{2}$．
在△APM中，由PA²=PM²+AM²，
可解得a²=$\frac{27}{2}$．
所以此時(shí)棱錐的高h(yuǎn)=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
分析可知，當(dāng)△ABC的位置固定在此處時(shí)，棱錐的高h(yuǎn)可以無(wú)限小，所以沒(méi)有最小值．
因此此時(shí)h∈（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
綜上，h∈（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$\sqrt{6}$，3]．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查點(diǎn)，線(xiàn)，面在平面內(nèi)的投影問(wèn)題，體現(xiàn)了極限思想的運(yùn)用，是壓軸題．