Question

10．過(guò)拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F作直線AB，CD與拋物線交于A，B，C，D四點(diǎn)，且AB⊥CD，則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$的最大值等于-16．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+1．分別與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，
由拋物線x²=4y可得焦點(diǎn)F（0，1）．
設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1，（k≠0）．
∵AB⊥CD，可得直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化為x²-4kx-4=0，
得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
同理可得x₃+x₄=-$\frac{4}{k}$，x₃x₄=-4．
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=-4（1+k²）．
同理可得$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=-4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）．
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=-4（2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）≤-4（2+2$\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}$）=-16，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)．
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$的最大值等于-16．
故答案為：-16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．