Question

16．某中學(xué)高二年級(jí)開設(shè)五門大學(xué)選修課程，其中屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的有兩門，分別是線性代數(shù)和微積分，其余三門分別為大學(xué)物理、商務(wù)英語(yǔ)以及文學(xué)寫作，年級(jí)要求每名學(xué)生只能選修其中一科，該校高二年級(jí)600名學(xué)生各科選課人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

選修課程	線性代數(shù)	微積分	大學(xué)物理	商務(wù)英語(yǔ)	文學(xué)寫作	合計(jì)
選課人數(shù)	180	x	120	y	60	600

其中選修數(shù)學(xué)學(xué)科的人數(shù)所占頻率為0.6．為了了解學(xué)生成績(jī)與選課情況之間的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這600名學(xué)生中抽取10人進(jìn)行分析．
（Ⅰ）從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至少2人選修線性代數(shù)的概率；
（Ⅱ）從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記ξ為選修線性代數(shù)人數(shù)與選擇微積分人數(shù)差的絕對(duì)值．求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分層抽樣求出各個(gè)選修人數(shù)，利用互斥事件的概率求解從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至少2人選修線性代數(shù)的概率；
（Ⅱ）從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記ξ為選修線性代數(shù)人數(shù)與選擇微積分人數(shù)差的絕對(duì)值．求出ξ的可能值，就是概率，即可得到隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：因?yàn)檫x修數(shù)學(xué)學(xué)科人數(shù)所占總?cè)藬?shù)頻率為0.6，即$\frac{180+x}{600}=0.6$，可得：x=180，又x+180+120+60+y=600，所以y=60，則根據(jù)分層抽樣法：
抽取的10人中選修線性代數(shù)的人數(shù)為：10×$\frac{180}{600}$=3人；選修微積分的人數(shù)為：10×$\frac{180}{600}$=3人；選修大學(xué)物理的人數(shù)為：$10×\frac{120}{600}=2$人；選修商務(wù)英語(yǔ)的人數(shù)為：$10×\frac{60}{600}=1$人；選修文學(xué)寫作的人數(shù)為：$10×\frac{60}{600}=1$人；
（Ⅰ）現(xiàn)從10人中選3人共有${C}_{10}^{3}=120$種選法，且每種選法可能性都相同，令事件A：選中的3人至少兩人選修線性代數(shù)，事件B：選中的3人有兩人選修線性代數(shù)，事件C：選中的3人都選修線性代數(shù)，且B，C為互斥事件，P（A）=P（B）+P（C）=$\frac{{C}_{3}^{2}×{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$+$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{11}{60}$．
（Ⅱ）記X為3人中選修線性代數(shù)的代數(shù)，X的可能取值為0，1，2，3，記Y為3人中選修微積分的人數(shù)；Y的可能取值也為0，1，2，3，則隨機(jī)變量ξ=|X-Y|的可能取值為0，1，2，3；
P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}+\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{3}$；
P（ξ=1）=P（X=0，Y=1）+P（X=1，Y=0）+P（X=1，Y=2）+P（X=2，Y=1）
=2×$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}+2×\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（ξ=2）=P（X=0，Y=2）+P（X=2，Y=0）=2×$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=3）=P（X=0，Y=3）+P（X=3，Y=0）=2×$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{60}$；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{60}$

所以Eξ=$\frac{1}{3}×0+\frac{9}{20}×1+\frac{1}{5}×2+\frac{1}{60}×3=\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．