分析 根據(jù)正六邊形的特點建立坐標系,不妨設邊AB=1,求出A、B、C、E的坐標,設M的坐標,由條件和向量相等列出方程,求出M的坐標,同理求出點N的坐標,求向量的坐標運算求出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BN}$的坐標,將B,M,N三點共線轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$,由共線向量的坐標條件列出方程,求出r的值.
解答 解:建立如圖坐標系,不妨設正六邊形ABCDEF的邊AB=1,
則A(0,0),B(1,0),C($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
E(0,$\sqrt{3}$),
設M的坐標為(x,y),
∵$\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$,∴(x,y)=r($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
則x=$\frac{3}{2}$r,y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r,即M($\frac{3}{2}$r,$\frac{\sqrt{3}}{2}$r),
同理可求,N的坐標是($\frac{3}{2}$(1-r),$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1+r)),
∴$\overrightarrow{BM}$=($\frac{3}{2}$r-1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$r),$\overrightarrow{BN}$=($\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$r,(1+r)),
∵B,M,N三點共線,
∴$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$,則($\frac{3}{2}$r-1)×$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1+r)-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×($\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$r)=0,
化簡得,3r2=1,解得r=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
故答案為:$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.
點評 本題考查了利用坐標法解決向量的問題,向量的坐標運算,向量相等的條件,以及向量共線的坐標條件,考查方程思想,轉(zhuǎn)化思想,建立恰當?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | B. | $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 | C. | $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1 | D. | $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $[{\frac{π}{12},\frac{π}{4}}]$ | B. | $[{\frac{π}{12},\frac{5π}{12}}]$ | C. | $[{\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$ | D. | $[{0,\frac{π}{2}}]$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 5 | B. | $\frac{5}{2}$ | C. | $\frac{5}{4}$ | D. | $\frac{5}{8}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
選修課程 | 線性代數(shù) | 微積分 | 大學物理 | 商務英語 | 文學寫作 | 合計 |
選課人數(shù) | 180 | x | 120 | y | 60 | 600 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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