7.正六邊形ABCDEF的對角線AC和CE分別被內(nèi)點M和N分割,且有$\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$.如果B、M、N共線,則r的值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.

分析 根據(jù)正六邊形的特點建立坐標系,不妨設邊AB=1,求出A、B、C、E的坐標,設M的坐標,由條件和向量相等列出方程,求出M的坐標,同理求出點N的坐標,求向量的坐標運算求出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BN}$的坐標,將B,M,N三點共線轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$,由共線向量的坐標條件列出方程,求出r的值.

解答 解:建立如圖坐標系,不妨設正六邊形ABCDEF的邊AB=1,
則A(0,0),B(1,0),C($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
E(0,$\sqrt{3}$),
設M的坐標為(x,y),
∵$\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$,∴(x,y)=r($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
則x=$\frac{3}{2}$r,y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r,即M($\frac{3}{2}$r,$\frac{\sqrt{3}}{2}$r),
同理可求,N的坐標是($\frac{3}{2}$(1-r),$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1+r)),
∴$\overrightarrow{BM}$=($\frac{3}{2}$r-1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$r),$\overrightarrow{BN}$=($\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$r,(1+r)),
∵B,M,N三點共線,
∴$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BN}$,則($\frac{3}{2}$r-1)×$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1+r)-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×($\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$r)=0,
化簡得,3r2=1,解得r=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
故答案為:$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.

點評 本題考查了利用坐標法解決向量的問題,向量的坐標運算,向量相等的條件,以及向量共線的坐標條件,考查方程思想,轉(zhuǎn)化思想,建立恰當?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關(guān)鍵.

練習冊系列答案
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選課人數(shù)180x120y60600
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