【題目】如圖，多面體中，是正方形，，，，且，，、分別為棱、的中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）首先根據(jù)已知條件易證平面，從而得到，又根據(jù)得到平面，根據(jù)中位線得到，得到平面，根據(jù)，是中點，得到，再根據(jù)線面垂直的判定即可證明平面.

（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，再代入二面角公式計算即可.

（1）因為，，

所以，即.

平面.

又因為平面，所以.

因為四邊形是正方形，所以.

平面.

因為，四邊形是正方形，所以.

又因為、分別為棱、的中點，所以.

所以平面.

又因為平面，所以.

因為，是中點，所以.

平面.

（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，

如圖所示：

則，，，，

所以，

平面的一個法向量為，

由，得，令，則.

由（1）可知平面

所以平面的一個法向量為，

設平面和平面所成銳二面角為，

則

所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點，將△ADM沿DM翻折．在翻折過程中，當二面角A—BC—D的平面角最大時，其正切值為（ ）

A. B. C. D.

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A. 若，則乙有必贏的策略B. 若，則甲有必贏的策略

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【題目】設等比數(shù)列｛｝的公比為 q(q > 0，q = 1)，前 n 項和為 Sn，且 2a1a3 = a4，數(shù)列｛｝的前 n 項和 Tn 滿足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N＊，b2 = 1.

(1) 求數(shù)列 ｛｝，｛｝的通項公式；

(2) 是否存在常數(shù) t，使得 {Sn+ } 為等比數(shù)列？說明理由；

(3) 設 cn =，對于任意給定的正整數(shù) k(k ≥2), 是否存在正整數(shù) l，m(k < l < m), 使得 ck，c1，cm 成等差數(shù)列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，說明理由.

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【題目】為保障食品安全，某地食品藥監(jiān)管部門對轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩家食品企業(yè)進行檢查，分別從這兩家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類產(chǎn)品中隨機抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項關(guān)鍵質(zhì)量指標值為檢測依據(jù)．已知該質(zhì)量指標值對應的產(chǎn)品等級如下：

質(zhì)量指標值

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

[40，45]

等級

次品

二等品

一等品

二等品

三等品

次品

根據(jù)質(zhì)量指標值的分組，統(tǒng)計得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布表（如下面表，其中a＞0）．

質(zhì)量指標值

頻數(shù)

[15，20）

2

[20，25）

18

[25，30）

48

[30，35）

14

[35，40）

16

[40，45]

2

合計

100

（Ⅰ）現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，試估計該件產(chǎn)品為次品的概率；

（Ⅱ）為守法經(jīng)營、提高利潤，乙企業(yè)開展次品生產(chǎn)原因調(diào)查活動．已知乙企業(yè)從樣本里的次品中隨機抽取了兩件進行分析，求這兩件次品中恰有一件指標值屬于[40，45]的產(chǎn)品的概率；

（Ⅲ）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，請自定標準，對甲、乙兩企業(yè)食品質(zhì)量的優(yōu)劣情況進行比較．

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A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

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（2）求證：C1F//平面ABE．

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