Question

19．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），點A、F分別為其右頂點和右焦點，B₁（0，b），B₂（0，-b），若B₁F⊥B₂A，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $1+\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)A（a，0），F(xiàn)（c，0），由向量的坐標計算公式可得$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（c，-b），$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=（a，b），進而分析可得$\overrightarrow{{B}_{1}F}$•$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=ac-b²=0，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得c²-a²-ac=0，由離心率公式變形可得e²-e-1=0，解可得e的值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），點A、F分別為其右頂點和右焦點，
設(shè)A（a，0），F(xiàn)（c，0），
則$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（c，-b），$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=（a，b），
若B₁F⊥B₂A，則有$\overrightarrow{{B}_{1}F}$•$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=ac-b²=0，
又由c²=a²+b²，
則有c²-a²-ac=0，
變形可得：e²-e-1=0，
解可得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍）
故e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是由B₁F⊥B₂A分析a、b、c的關(guān)系．