Question

18．三棱錐D-ABC及其正視圖和側(cè)視圖如右圖所示，且頂點(diǎn)A，B，C，D均在球O的表面上，則球O的表面積為（　�。�

• A． 32π
• B． 36π
• C． 128π
• D． 144π

Answer 1

分析 由三視圖畫出幾何體的直觀圖，由三視圖判斷出DC⊥平面ABC、△ABC的形狀，取AC中點(diǎn)F并連BF，由線面垂直的定義和勾股定理求出BC，求出△ABC的外接圓的半徑，列出方程求出三棱錐外接球的半徑，由球的表面積公式求出答案．

解答 解：由三視圖可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC為正三角形，
如圖所示，取AC中點(diǎn)F，連BF，則BF⊥AC，
在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，
在Rt△BCD中，CD=4，所以BD=4$\sqrt{2}$．
設(shè)球心到平面ABC的距離為d，
因?yàn)镈C⊥平面ABC，且底面△ABC為正三角形，所以d=2，
因?yàn)椤鰽BC的外接圓的半徑為2，
所以由勾股定理可得R²=d²+2²=8，
則該三棱錐外接球的半徑R=2$\sqrt{2}$，
所以三棱錐外接球的表面積是4πR²=32π，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查幾何體的三視圖，線面垂直的定義，以及幾何體外接球問題，由三視圖正確還原幾何體、以及判斷幾何體位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．