Question

12．響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為2萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為C（x）萬(wàn)元．在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，$C（x）=\frac{1}{3}{x^2}+2x$（萬(wàn)元）；在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，$C（x）=7x+\frac{100}{x}-37$（萬(wàn)元）．每件產(chǎn)品售價(jià)為6元．假設(shè)小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年全部售完．
（Ⅰ）寫出年利潤(rùn)P（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 （I）根據(jù)年利潤(rùn)=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當(dāng)x≥8兩種情況得到P（x）與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（II）當(dāng)0＜x＜8時(shí)根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來(lái)求L的最大值，當(dāng)x≥8時(shí)，利用基本不等式來(lái)求P（x）的最大值，最后綜合即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)槊考�商品售價(jià)為6元，則x萬(wàn)件商品銷售收入為6x萬(wàn)元．
依題意得
當(dāng)0＜x＜8時(shí)，$P（x）=6x-（{\frac{1}{3}{x^2}+2x}）-2=-\frac{1}{3}{x^2}+4x-2$…（2分）
當(dāng)x≥8時(shí)，$P（x）=6x-（{7x+\frac{100}{x}-37}）-2=35-（{x+\frac{100}{x}}）$…（4分）
所以$P（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x^2}+4x-2，0＜x＜8}\\{35-x-\frac{100}{x}，x≥8}\end{array}}\right.$…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，$P（x）=-\frac{1}{3}{（{x-6}）^2}+10$
此時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，P（x）取得最大值P（6）=10（萬(wàn)元）     …（8分）
當(dāng)x≥8時(shí)$P（x）=35-（{x+\frac{100}{x}}）≤35-2\sqrt{x•\frac{100}{x}}=15$
（當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{100}{x}$，即x=10時(shí)，取等號(hào)）
即x=10時(shí)，P（x）取得最大值15萬(wàn)元        …（11分）
因?yàn)?0＜15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為15萬(wàn)元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用基本不等式求最值的能力．