Question

15．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示．

（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）若點(diǎn)D為棱AB的中點(diǎn)，求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）由直三棱柱的三視圖求出S_△ABC，高BB₁，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．
（2）連結(jié)B₁C，BC₁，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則OD∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．

解答 解：（1）由直三棱柱的三視圖得：
${S}_{ABC}=\frac{1}{2}×3×2=3$，高BB₁=4，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC×BB₁=3×4=12．
證明：（2）連結(jié)B₁C，BC₁，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，
∵點(diǎn)D為棱AB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC₁，
∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．