Question

1．已知函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）將x=1代入函數(shù)表達(dá)式求出b的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程，求出a的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解（1）因為f（1）=-b+3=2，
所以b=1，f（x）=（ax+b）lnx-bx+3；…（1分）
又$f'（x）=\frac{x}+alnx+a-b=\frac{1}{x}+alnx+a-1$，…（2分）
而函數(shù)在（1，f（1））處的切線方程為y=2，
所以f′（1）=1+a-1=0，所以a=0；…（3分）
（2）由（1）得f（x）=lnx-x+3，$f'（x）=\frac{1}{x}-1$，
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0；
當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0；
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，…（6分）
所以f（x）有極大值f（1）=2，無極小值…（8分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．