Question

11．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx-$\sqrt{3}$cosx），設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）求f（x）在[$\frac{5π}{12}$，π]上的值域．

Answer 1

分析 本題考了平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合運算，由平面向量數(shù)量積運算求出函數(shù)f（x），將函數(shù)進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）圖象的對稱方程；根據(jù)x∈[$\frac{5π}{12}$，π]，求f（x）的最大值和最小值，即可得f（x）的值域．

解答 解：（1）已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx-$\sqrt{3}$cosx），
則函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos²x+${sin}^{2}x-\sqrt{3}sinxcosx$
=$\frac{1+cos2x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+1$=cos（2x+$\frac{π}{3}）+\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$
（1）由：$2x+\frac{π}{3}=kπ$（k∈Z）解得：x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$（k∈Z）
所以：函數(shù)f（x）的對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$（k∈Z）．
（2）由（1）得：f（x）=$cos（2x+\frac{π}{3}）+\frac{3}{2}$
所以：當x$∈[\frac{5π}{12}，π]$時，
解得：$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{7π}{6}，\frac{7π}{3}]$
當$2x+\frac{π}{3}=\frac{7π}{6}$時，有$f（x）min=cos\frac{7π}{6}+\frac{3}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
當$2x+\frac{π}{3}=2π$時，有$f（x）max=cos2π+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$．
∴f（x）的最大值$\frac{5}{2}$和最小值$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
故x∈[$\frac{5π}{12}$，π]，f（x）的f（x）的值域是$[\frac{3-\sqrt{3}}{2}，\frac{5}{2}]$

點評 本題主要考查了平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合運算，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．