Question

3． 如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2$\sqrt{7}$，E為棱PD的中點．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱錐C-PBD外接球的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PD⊥平面ABE．
（Ⅱ）三棱錐C-PBD外接球即以AB，AD，AP為棱的長方體的外接球，由此能求出三棱錐C-PBD外接球的體積．

解答 證明：（Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2$\sqrt{7}$，0，0），E（0，1，1），
$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AB}$=（2$\sqrt{7}$，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），
$\overrightarrow{PD}$$•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AE}$=0，
∴PD⊥AB，PD⊥AE，
∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．
解：（Ⅱ）∵AD，AP，AB兩垂直，底面ABCD為矩形，
∴三棱錐C-PBD外接球即以AB，AD，AP為棱的長方體的外接球，
∴三棱錐C-PBD外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{4+4+28}}{2}$=3，
∴三棱錐C-PBD外接球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π×27$=36π．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的外接的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．