Question

15．如圖，已知四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，點M是棱ED的中點．
（1）求證：CM∥平面ABEF；
（2）求三棱錐D-ACF的體積．

Answer 1

分析 （1）幾何法：連結(jié)AE，BF，交于點O，連結(jié)OM，推導(dǎo)出四邊形BCMO是平行四邊形，由此能證明CM∥平面ABEF．
向量法：以A為原點，AF為x軸，AC為y軸，AB為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明CM∥平面ABEF．
（2）三棱錐D-ACF的體積V_D-ACF=V_F-ACD，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）幾何法：連結(jié)AE，BF，交于點O，連結(jié)OM，
∵ABEF是正方形，∴O是AE中點，
∵M是DE中點，∴OM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∵ABCD是直角梯形，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴BC$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，∴BC$\underset{∥}{=}$OM，
∴四邊形BCMO是平行四邊形，
∴BO∥CM，
∵BO?平面ABEF，CM?平面ABEF，
∴CM∥平面ABEF．
（1）向量法：∵四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形，
平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，點M是棱ED的中點．
∴以A為原點，AF為x軸，AC為y軸，AB為z軸，建立空間直角坐標系，
D（0，2，0），E（1，0，1），M（$\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}$），C（0，1，1），
$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}$），
平面ABEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}$=0，CM?平面ABEF，∴CM∥平面ABEF．
解：（2）∵點F到平面ACD的距離AF=1，
S_△ACD=S_梯形ABCD-S_△ABC=$\frac{1}{2}（1+2）×1-\frac{1}{2}×1×1$=1，
∴三棱錐D-ACF的體積：
V_D-ACF=V_F-ACD=$\frac{1}{3}×AF×{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×1×1$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．