Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（1）若?x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M總成立，求M的最大值；
（2）如果對(duì)?s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥eg（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間，可得g（x）的最值，由題意可得M≤g（x）_max-g（x）_min，即可得到M的最大值；
（2）g（t）在g（1）取得最大值$\frac{1}{e}$，由題意可得$\frac{a}{s}$+slns≥1對(duì)?s∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，可得a≥s（1-slns）的最大值，令g（s）=s（1-slns），s∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，由g′（1）=0，即可得到g（s）的單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，可得a的范圍．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
可得g（x）在[0，1），g′（x）＞0，g（x）遞增；
g（x）在[1，2]，g′（x）＜0，g（x）遞減．
可得g（1）取得最大值$\frac{1}{e}$，g（0）=0，g（2）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
即g（0）取得最小值0，
則M≤g（x）_max-g（x）_min=$\frac{1}{e}$，
可得M的最大值為$\frac{1}{e}$；
（2）對(duì)?s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥eg（t）成立，
由g（t）在g（1）取得最大值$\frac{1}{e}$，
則f（s）≥1對(duì)?s∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
即有$\frac{a}{s}$+slns≥1對(duì)?s∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
可得a≥s（1-slns）的最大值，
令g（s）=s（1-slns），s∈[$\frac{1}{2}$，2]，
g′（s）=1-slns+s（-1-lns）=1-s-2slns，
g″（s）=-1-2（1+lns）=-3-2lns＜0，在s∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
即有g(shù)′（s）在s∈[$\frac{1}{2}$，2]遞減，
則g′（2）≤g′（s）≤g′（$\frac{1}{2}$），
即有-1-4ln2≤g′（s）≤$\frac{1}{2}$+ln2，
由g′（1）=0，可得g（s）在（$\frac{1}{2}$，1）遞增，（1，2）遞減，
即有g(shù)（1）取得最大值1，
則a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，考查轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，參數(shù)分離法以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．