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已知函數（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；（2）若定義在區(qū)間D上的函數對于區(qū)間上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數為區(qū)間上的

“凹函數”．試證:當時，為“凹函數”．

解（1）由，得 ……………………2分

函數為上單調函數. 若函數為上單調增函數，則在上恒成立，即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立. …………4分令，上述問題等價于，而為在上的減函數，則，于是為所求. …………6分

（2）證明：由 得


   ………………………7分

  ……………………8分

 而  ①  ………………10分

   又，  ∴  ② ………11分

∵   ∴，

∵  ∴  ③  ……………………………13分

由①、②、③得

即，從而由凹函數的定義可知函數為凹函數. …………14分

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年內蒙古巴彥淖爾市高三上學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數．

(1）若在上恒成立，求m取值范圍；

(2）證明：（）．

（注：）

 

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科目：高中數學 來源：2015屆山東省聊城市高一第四次模塊檢測數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數

（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；

（2）若定義在區(qū)間D上的函數對于區(qū)間上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數為區(qū)間上的 “凹函數”．試證當時，為“凹函數”．

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖北省高三最后一次綜合測試數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數.

（1）若在上的最大值為，求實數的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設，對任意給定的正實數，曲線 上是否存在兩點、，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年河北省唐山市高三第一次月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（12分）已知函數.

（1）若在上是增函數，求實數的取值范圍；

（2）若是的極值點，求在上的最小值和最大值.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年江西省宜春市高三模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題14分）已知函數.

（1）若在上的最大值為，求實數的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設，對任意給定的正實數，曲線 上是否存在兩點、，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

 

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