Question

12．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點為A₁，A₂，拋物線E以坐標原點為頂點，以A₂為焦點．若雙曲線C的一條漸近線與拋物線E及其準線分別交于點M，N，若$\overrightarrow{M{A_2}}⊥\overrightarrow{{A_1}{A_2}}$，∠MA₁N=135°，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線的位置關(guān)系，得到拋物線的準線方程為x=-a，由∠MA₁N=135°，得三角形MA₁A₂是等腰直角三角形，從而得到b=2a，進行求解即可．

解答 解：∵拋物線E以坐標原點為頂點，以A₂為焦點．
∴拋物線的準線方程為x=-a
∵$\overrightarrow{M{A_2}}⊥\overrightarrow{{A_1}{A_2}}$，∴MA₂⊥x軸，
設(shè)漸近線為y=$\frac{a}$x，則當x=a時，y=b，即M（a，b），
∵∠MA₁N=135°，
∴∠MA₁A₂=45°，
即三角形MA₁A₂是等腰直角三角形，
則 MA₂=A₁A₂，即b=2a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)雙曲線和拋物線的關(guān)系確定三角形MA₁A₂是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．