Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，$CD=\sqrt{3}$，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）在線段PA上是否存在一點M，使二面角M-BC-D的大小為$\frac{π}{6}$，若存在，求$\frac{PM}{PA}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）過B作BO∥CD，交AD于O，連接OP，則AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；
（II）以O為原點建立坐標系，設M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=cos$\frac{π}{6}$解出n，從而得出$\frac{PM}{PA}$的值．

解答 證明：（I）過B作BO∥CD，交AD于O，連接OP．
∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB
∴四邊形OBCD是矩形，
∴OB⊥AD．OD=BC=2，
∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP=$\sqrt{P{D}^{2}+O{D}^{2}-2PD•OD•cos60°}$=2$\sqrt{3}$．
∴OP²+OD²=PD²，∴OP⊥OD．
又OP?平面OPB，OB?平面OPB，OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，∵PB?平面OPB，
∴AD⊥PB．
（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，
∴OP⊥平面ABCD．
以O為原點，以OA，OB，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
假設存在點M（m，0，n）使得二面角M-BC-D的大小為$\frac{π}{6}$，
則$\overrightarrow{MB}$=（-m，$\sqrt{3}$，-n），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0）．
設平面BCM的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{-mx+\sqrt{3}y-nz=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{n}$）．
∵OP⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{n}}{\sqrt{\frac{3}{{n}^{2}}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．解得n=1．
∴$\frac{PM}{PA}=\frac{PO-1}{PO}$=$\frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{6-\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，空間向量的應用與二面角的計算，屬于中檔題．