Question

15．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=$\frac{（1-2n）{3}^{n}}{n（n+1）}$，試用數學歸納法證明：S_n=3-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$．

Answer 1

分析 直接利用數學歸納法的證明步驟證明即可．

解答 證明：①當n=1時，S₁=3-$\frac{{3}^{1+1}}{1+1}$=3-$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$．a₁=$\frac{（1-2）•{3}^{1}}{1×（1+1）}$=-$\frac{3}{2}$，S₁=a₁，等式成立；
②當n=k時，等式成立即：S_k=3-$\frac{{3}^{k+1}}{k+1}$．
當n=k+!時，
S_k+1=3-$\frac{{3}^{k+1}}{k+1}$+$\frac{[1-2（k+1）{]3}^{k+1}}{（k+1）（k+2）}$
=3-$\frac{{（k+2）3}^{k+1}+（2k+1）{3}^{k+1}}{（k+1）（k+2）}$
=3-$\frac{{3}^{k+2}}{k+2}$，這就是說n=k+1時，等式也成立．
由①②可知，數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=$\frac{（1-2n）{3}^{n}}{n（n+1）}$，S_n=3-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$成立．

點評 本題考查數學歸納法的應用，考查化簡整理和推理能力，屬于中檔題．