Question

9．如圖，正方體 A BCD-A₁ B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點(diǎn)．
（1）證明：BD₁⊥AC；
（2）證明：BD₁∥平面 ACE．

Answer 1

分析 （1）連結(jié) BD，證明AC⊥BD，AC⊥DD₁，推出AC⊥平面 BDD₁，然后證明BD₁⊥AC．
（2）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，證明O E∥BD₁，然后BD₁∥平面ACE．

解答 證明：（1）連結(jié) BD，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁
∵BD∩DD₁=D，BD?平面BDD₁，DD₁?平面BDD₁
∴AC⊥平面 BDD₁
∵BD₁?平面BDD₁
∴BD₁⊥AC．
（2）設(shè) AC∩BD=O，連結(jié)OE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴O是BD的中點(diǎn)∵E為DD₁的中點(diǎn)，
∴OE∥BD₁
∵OE?平面ACE，BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．