Question

10．已知函數f（x）=ax³+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求函數y=f（x）在[0，+∞）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）方程f（x）=x⁴有3個不同的實根，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a＞0時，若對于任意的x₁∈[a，a+1]，都存在x₂∈[a+1，+∞]，使得f（x₁）f（x₂）=1024，求滿足條件的正整數a的取值的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導，根據導數和函數單調性的關系即可求出單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）=x⁴，此方程等價于x=a或$\left\{\begin{array}{l}{x＞a}\\{x=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜a}\\{x=-1}\end{array}\right.$，分類討論，即可討論方程f（x）=x⁴的實數解的個數，即可得到答案
（Ⅲ）確定函數f（x）在（a，+∞）上是增函數，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0，對任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，所以[$\frac{1024}{f（a+1）}$，$\frac{1024}{f（a）}$]⊆[f（a+1），+∞），即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）當a=-1，x∈[0，+∞）時，f（x）=-x³+x+1，從而f′（x）=-3x²+1=-3（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當f′（x）＜0時，即x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數單調遞減，
當f′（x）＞0時，即0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數單調遞增，
所以f（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上為單調遞增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上單調遞減；
（Ⅱ）由f（x）=x⁴，即ax³+|x-a|=x⁴，
所以x⁴-ax³=|x-a|，從而x³（x-a）=|x-a|，
此方程等價于x=a或$\left\{\begin{array}{l}{x＞a}\\{x=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜a}\\{x=-1}\end{array}\right.$   
所以當a≥1時，方程有兩個不同的解a，-1，
當-1＜a＜1時，方程有三個不同的解a，-1，1，
當a≤-1時，方程有兩個不同的解a，1，
綜上，當-1＜a＜1時，方程有三個不同的解a，-1，1；
（Ⅲ）當a＞0，x∈（a，+∞）時，f（x）=ax³+x-a，f′（x）=3ax²+1＞0，
所以函數f（x）在（a，+∞）上是增函數，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0．
所以當x∈[a，a+1]，f（x）∈[a⁴，f（a+1）]，
當x∈[a+1，+∞）時，f（x）∈[f（a+1），+∞），
所以$\frac{1024}{f（x）}$∈（0，$\frac{1024}{f（a+1）}$]
因為對任意的x₁∈[a，a+1]，都存在x₂∈[a+1，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，
從而$\frac{1024}{f（a+1）}$≥f（a+1），
所以f ²（a+1）≤1024，即f（a+1）≤32，也即a（a+1）³+1≤32，
因為g（a）=a（a+1）³+1為（0，+∞）單調遞增，
且g（1）=9≤32滿足，而g（2）=55≥32，不滿足題意，
所以a≥2時，均不滿足題意，
所以滿足條件的正整數a的取值的集合為{1}．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．