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17.在極坐標系下,知圓O:ρ=cosθ+sinθ和直線l:ρsin({θ-\frac{π}{4}})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}({ρ≥0,0≤θ≤2π})
(1)求圓O與直線l的直角坐標方程;
(2)當θ∈(0,π)時,求圓O和直線l的公共點的極坐標.

分析 (1)圓O的極坐標方程化為ρ2=ρcosθ+ρsinθ,由此能求出圓O的直角坐標方程;直線l的極坐標方程化為ρsinθ-ρcosθ=1,由此能求出直線l的直角坐標方程.
(2)圓O與直線l的直角坐標方程聯(lián)立,求出圓O與直線l的在直角坐標系下的公共點,由此能求出圓O和直線l的公共點的極坐標.

解答 解:(1)圓O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
故圓O的直角坐標方程為:x2+y2-x-y=0,
直線l:ρsin({θ-\frac{π}{4}})=\frac{{\sqrt{2}}}{2},即ρsinθ-ρcosθ=1,
則直線的直角坐標方程為:x-y+1=0.
(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標方程,
將兩方程聯(lián)立得\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}}\right.,解得\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}}\right.
即圓O與直線l的在直角坐標系下的公共點為(0,1),
轉(zhuǎn)化為極坐標為({1,\frac{π}{2}})

點評 本題考查直線與圓的直角坐標方程的求法,考查圓與直線的公共點的極坐標的求法,涉及到參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習冊系列答案
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