Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點M（x₀，y₀）到點N（2，0）距離的最小值為$\sqrt{3}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若x₀＞2，圓E（x-1）²+y²=1，過M作圓E的兩條切線分別交y軸A（0，a），B（0，b）兩點，求△MAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）${|{MN}|^2}=x_0^2-4{x_0}+4+2p{x_0}=x_0^2-2（{2-p}）{x_0}+4$=${[{{x_0}-（{2-p}）}]^2}+4-{（{2-p}）^2}$．
 可得2-p＞0即0＜p＜2時，${|{MN}|_{min}}=\sqrt{4-{{（{2-p}）}^2}}=\sqrt{3}$，可得p即可．
（2）由題意可知直線MA的方程為$y=\frac{{{y_0}-a}}{x_0}x+a$，即（y₀-a）x-x₀y+ax₀=0，
由直線與圓相切得：a²（x₀-2）+2ay₀-x₀=0，
同理：${b^2}（{{x_0}-2}）{x^2}+2b{y_0}x-{x_0}=0$，∴a，b為方程$（{{x_0}-2}）{x^2}+2{y_0}x-{x_0}=0$的兩根，
即$S=\frac{1}{2}|{a-b}|•|{x_0}|=\frac{x_0^2}{{{x_0}-2}}=\frac{x_0^2-4+4}{{{x_0}-2}}={x_0}+2+\frac{4}{{{x_0}-2}}$=${x_0}-2+\frac{4}{{{x_0}-2}}+4≥8$，即可得△MAB面積的最小值．

解答 解：（1）$|{MN}|=\sqrt{{{（{{x_0}-2}）}^2}+{{（{{y_0}-0}）}^2}}$，∵$y_0^2=2p{x_0}$，
∴${|{MN}|^2}=x_0^2-4{x_0}+4+2p{x_0}=x_0^2-2（{2-p}）{x_0}+4$=${[{{x_0}-（{2-p}）}]^2}+4-{（{2-p}）^2}$．
∵x₀≥0，所以當2-p≤0即p≥2時，|MN|_min=2，不符合題意，舍去；
所以2-p＞0即0＜p＜2時，${|{MN}|_{min}}=\sqrt{4-{{（{2-p}）}^2}}=\sqrt{3}$，
∴（2-p）²=1，∴p=1或p=3（舍去），∴y²=2x．
（2）由題意可知，${k_{MA}}=\frac{{{y_0}-a}}{x_0}$，所以直線MA的方程為$y=\frac{{{y_0}-a}}{x_0}x+a$，即（y₀-a）x-x₀y+ax₀=0，
∴$1=\frac{{|{（{{y_0}-a}）+a{x_0}}|}}{{\sqrt{{{（{{y_0}-a}）}^2}+x_0^2}}}$，∴${（{{y_0}-a}）^2}+x_0^2={|{{y_0}-a+a{x_0}}|^2}$，整理得：a²（x₀-2）+2ay₀-x₀=0，
同理：${b^2}（{{x_0}-2}）{x^2}+2b{y_0}x-{x_0}=0$，∴a，b為方程$（{{x_0}-2}）{x^2}+2{y_0}x-{x_0}=0$的兩根，
∴$a+b=-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}$，∴$ab=-\frac{x_0}{{{x_0}-2}}$，∴$|{a-b}|=\sqrt{{{（{a+b}）}^2}-4ab}=\frac{{2|{x_0}|}}{{|{{x_0}-2}|}}$，
∵x₀＞2，∴$S=\frac{1}{2}|{a-b}|•|{x_0}|=\frac{x_0^2}{{{x_0}-2}}=\frac{x_0^2-4+4}{{{x_0}-2}}={x_0}+2+\frac{4}{{{x_0}-2}}$=${x_0}-2+\frac{4}{{{x_0}-2}}+4≥8$，當且僅當x₀=4時，取最小值．
∴當x₀=4時，△MAB面積的最小值為8．

點評 本題考查了拋物線的方程，拋物線與直線的位置關(guān)系，三角形的面積，考查了運算能力、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．