Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-x+1）-m，若?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{1，\frac{3}{e}}）$．

Answer 1

分析 g（x）=e^x（x²-x+1），由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極大值為$\frac{3}{e}$，極小值為1，再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有3個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，從而求得m的范圍．

解答 解：?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．
說明函數(shù)f（x）有3個不同零點(diǎn)，即方程e^x（x²-x+1）-m=0有三個根．
即e^x（x²-x+1）=m有三個根．
令g（x）=e^x（x²-x+1），
g′（x）=（x²-x+1）•e^x+（2x-1）•e^x =x（x+1）•e^x，
由g′（x）＞0，得x＞0或x＜-1；
由g′（x）＜0，得-1＜x＜0．
∴g（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x）的極大值為f（-1）=$\frac{3}{e}$，極小值為f（0）=1．
由題意可得，函數(shù)g（x）的圖象和直線y=m有3個交點(diǎn)，
如圖所示：
故有：1＜m＜$\frac{3}{e}$，
故答案為：$（{1，\frac{3}{e}}）$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．