Question

【題目】已知函數(shù) .
（Ⅰ）當(dāng) 時，求函數(shù) 在 處的切線方程；
（Ⅱ）試判斷函數(shù) 零點(diǎn)的個數(shù).

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng) 時， ， ，
∵ ， ，∴ 在 處的切線方程為 ，即 ；
（Ⅱ）由題知， 的定義域為 ，
.
①當(dāng) 時，對于定義域中任意 ，有 ， 在 上是增函數(shù).
又 ，并且當(dāng) 時， ，∴ 有唯一的零點(diǎn)；
②當(dāng) 時，在 上 ， 單調(diào)遞減；在 上， ， 單調(diào)遞增.
又當(dāng) 時， ，并且 .這是因為： .
設(shè) ，則 .記 ，則 .
∵在 上， ， 單調(diào)遞減；在 上， ， 單調(diào)遞增，
∴ 的最小值為 ，即 成立，∴在區(qū)間 內(nèi)存在一點(diǎn) ，使得 .
則函數(shù) 零點(diǎn)的個數(shù)取決于 的最小值的正負(fù).又函數(shù) 的最小值為 .記 ，則 是 上的增函數(shù).又觀察，得 ，∴當(dāng) 時， 的最小值小于0，即 有兩個零點(diǎn)；
當(dāng) 時， 的最小值為0， 有唯一的零點(diǎn)；當(dāng) 時， 的最小值大于0， 沒有零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng) 或 時， 有唯一的零點(diǎn)；當(dāng) 時， 有兩個零點(diǎn)；當(dāng) 時， 沒有零點(diǎn)
【解析】(1)由題意把a(bǔ)的值代入函數(shù)的解析式，對其求導(dǎo)并把x=1的值代入導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)式，求出切線的方程的斜率再由點(diǎn)斜式求出直線的方程。(2)首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對a分情況討論出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性，從而得出原函數(shù)的零點(diǎn)存在情況即可。