Question

3．一直線 l 過(guò)直線 l₁：2x-y=1 和直線 l₂：x+2y=3 的交點(diǎn) P，且與直線 l₃：x-y+1=0 垂直．
（1）求直線 l 的方程；
（2）若直線 l 與圓 C：（x-a）²+y ²=8 （a＞0）相切，求 a．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=1}\\{x+2y=3}\end{array}}\right.$解得P的坐標(biāo)，再求出直線斜率，即可求直線 l 的方程；
（2）若直線 l 與圓 C：（x-a）²+y ²=8 （a＞0）相切，a＞0且C到直線l的距離為$2\sqrt{2}$，由此即可求 a．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=1}\\{x+2y=3}\end{array}}\right.$解得P（1，1）…（1分）
又直線l與直線l₃：x-y+1=0垂直，故l的斜率為-1
所以l：y-1=-（x-1）…（3分）
即直線l的方程為x+y-2=0…（4分
（2）由題設(shè)知C（a，0），半徑$r=2\sqrt{2}$…（5分）
因?yàn)橹本�l與圓C：（x-a）²+y²=8相切，∴a＞0且C到直線l的距離為$2\sqrt{2}$…（6分）
∴$\frac{|a-2|}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$
得a=6或a=-2（舍） …（9分）
∴a=6．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．