Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點，若以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B、D，且FB⊥FD，△ABD的面積為$\sqrt{2}$，則圓F的方程為$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=2．

Answer 1

分析 設(shè)l與x軸相交于點M，由F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B、D，且FB⊥FD，可得|FM|=|MB|=|MD|，可得|AF|=|BF|=$\sqrt{2}$p，利用△ABD的面積$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$|BD|•$\sqrt{2}$p，解得p，即可得出．

解答 解：設(shè)l與x軸相交于點M，過點A作AN⊥l，垂足為N，則|AN|=|AF|．
∵F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B、D，且FB⊥FD，
∴|FM|=|MB|=|MD|，
∴|AF|=|BF|=$\sqrt{2}$p，
∴△ABD的面積$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$|BD||AN|=$\frac{1}{2}$|BD|•$\sqrt{2}$p=$\frac{1}{2}$×2p×$\sqrt{2}$p=$\sqrt{2}$，解得p=1．
∴圓F的方程為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=2．
故答案為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=2．

點評 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長公式、圓的方程及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．