Question

（理）已知雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1及點(diǎn)P（2，1），是否存在過點(diǎn)P的直線l，使直線l被雙曲線截得的弦恰好被P點(diǎn)平分？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)代入雙曲線方程，作差，假設(shè)P為AB的中點(diǎn)，求出直線的斜率，從而可得方程，再代入雙曲線方程驗(yàn)證，可知這樣的直線不存在．

解答：解：設(shè)弦為AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x 2 1 9 - y 2 1 4 =1   ① x 2 2 9 - y 2 2 4 =1   ②

①-②：

x 2 1  - x 2 2

9

-

y 2 1 - y 2 2

4

=0
若P（2，1）為AB的中點(diǎn)，則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
∴

4(x1-x2)

9

-

2(y1-y2)

4

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

8

9

∴過點(diǎn)P的直線l方程為：y-1=

8

9

(x-2)
即8x-9y-7=0
經(jīng)驗(yàn)證，將y=

8

9

x-

7

9

代入

x2

9

-

y2

4

=1得28x²-112x+373=0
∴△=112²-4×28×373＜0
∴直線不滿足題意，故這樣的直線不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，主要考查點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問題，應(yīng)注意驗(yàn)證結(jié)論是否滿足題意．