分析 (1)在△AMN中,利用余弦定理得到MN;
(2)設(shè)∠PMN=α,得到∠PNM=120°-α,利用正弦定理將PM+PN用α表示,結(jié)合三角函數(shù)的有界性求最值.
解答 解:(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM•ANcos120°…(2分)
=22+22−2×2×2×(−12)=12,
所以MN=2√3千米. …(4分)
(2)設(shè)∠PMN=α,因?yàn)椤螹PN=60°,所以∠PNM=120°-α
在△PMN中,由正弦定理得,\frac{MN}{sin∠MPN}=\frac{PM}{{sin({{120}^0}-α)}}=\frac{PN}{sinα}.…(6分)
因?yàn)?\frac{MN}{sin∠MPN}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin{{60}^0}}}=4$,
所以PM=4sin(1200-α),PN=4sinα…(8分)
因此PM+PN=4sin(1200-α)+4sinα…(10分)
=4(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα)+4sinα
=6sinα+2\sqrt{3}cosα=4\sqrt{3}sin(α+{30^0})…(13分)
因?yàn)?°<α<120°,所以30°<α+30°<150°.
所以當(dāng)α+300=900,即α=600時(shí),PM+PN取到最大值4\sqrt{3}.…(15分)
答:兩條觀光線路距離之和的最大值為4\sqrt{3}千米.…(16分)
點(diǎn)評 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用;關(guān)鍵是正確建模,然后利用正弦定理、余弦定理解三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2-\sqrt{3} | B. | 2\sqrt{3}+3 | C. | 2+\sqrt{3} | D. | 2\sqrt{3}-3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (7,6) | B. | (8,7.5) | C. | (9,8.6) | D. | (10,9.2) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{\sqrt{3}}{4} | B. | \frac{\sqrt{3}}{2} | C. | \frac{\sqrt{5}}{2} | D. | \sqrt{5} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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