Question

定義“正對數(shù)”：ln⁺x=

0，0＜x＜1 lnx，x≥1

，若a＞0，b＞0現(xiàn)有四個命題：
①ln⁺（a^b）=bln⁺a      
②ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b
③ln^+（

a

b

）≥ln⁺a-ln⁺b  
④ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2
其中正確的有（　�。�

• A、①④
• B、③④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意，根據(jù)所給的定義及對數(shù)的運算性質(zhì)對四個命題進行判斷，由于在不同的定義域中函數(shù)的解析式不一樣，故需要對a，b分類討論，判斷出每個命題的真假．

解答： 解：對于①，由定義，當a≥1時，a^b≥1，故ln⁺（a^b）=ln（a^b）=blna，又bln⁺a=blna，
故有l(wèi)n⁺（a^b）=bln⁺a；
當0＜a＜1時，a^b＜1，故ln⁺（a^b）=0，又a＜1時bln⁺a=0，所以此時亦有l(wèi)n⁺（a^b）=bln⁺a．
由上判斷知①正確；
對于②，此命題不成立，可令a=2，b=

1

3

，則ab=

2

3

，由定義ln⁺（ab）=0，ln⁺a+ln⁺b=ln2，
所以ln⁺（ab）≠ln⁺a+ln⁺b；由此知②錯誤；
對于③，當a≥b＞0時，

a

b

≥1，此時ln+（

a

b

）=ln （

a

b

）≥0，
當a≥b≥1時，ln⁺a-ln⁺b=lna-lnb=ln（

a

b

），此時命題成立；
當a＞1＞b時，ln⁺a-ln⁺b=lna，此時

a

b

＞a，故命題成立；
同理可驗證當1＞a≥b＞0時，ln+（

a

b

）≥ln+a-ln+b成立；
當

a

b

＜1時，同理可驗證是正確的，故③正確；
④若0＜a+b＜1，b＞0時，左=0，右端≥0，顯然成立；
若a+b＞1，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2?ln⁺

a+b

2

≤ln⁺a+ln⁺b，成立，故④正確．
故選C．

點評：本題考查新定義及對數(shù)的運算性質(zhì)，理解定義所給的運算規(guī)則是解題的關鍵，本題考查了分類討論的思想，邏輯判斷的能力，綜合性較強，探究性強．易因為理解不清定義及忘記分類討論的方法解題導致無法入手致錯．