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8.已知f(x)=2x+12x+1a是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷并證明f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性.

分析 (1)f(x)=2x+12x+1a是奇函數(shù),f(-1)=-f(1),再進(jìn)行驗證即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,利用定義法即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)∵f(x)=2x+12x+1a是奇函數(shù),
∴f(-1)=-f(1),
321a=34a,
∴a=2,此時滿足f(-x)=-f(x);
(2)函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
設(shè)x1>x2>0,
則f(x1)-f(x2)=2x12x22x1+122x2+12>0,
即f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2),即函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性,考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明,利用定義法是解決本題的關(guān)鍵.

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