Question

19．設(shè)函數(shù)$f（x）=cos（{2x+\frac{π}{3}}）+{sin^2}x$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設(shè)A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，若$cosB=\frac{1}{3}$，$f（{\frac{C}{3}}）=-\frac{1}{4}$，求sinA．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求函數(shù)的最小正周期和最大值，
（2）根據(jù)$cosB=\frac{1}{3}$，$f（{\frac{C}{3}}）=-\frac{1}{4}$，求解出出C，即可得sinA的值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=cos（{2x+\frac{π}{3}}）+{sin^2}x$．
化簡可得：$f（x）=cos（{2x+\frac{π}{3}}）+{sin^2}x$=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}+\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$．
∴函數(shù)y=f（x）的最大值為$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由$f（{\frac{C}{3}}）=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{2C}{3}=-\frac{1}{4}$，
得$sin\frac{2C}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴0＜$\frac{2}{3}$C＜$\frac{2π}{3}$
∴$\frac{2C}{3}=\frac{π}{3}$
解得，$C=\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．
因此，$sinA=cosB=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．