Question

1．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，M、N分別是棱AA₁、AD的中點(diǎn)，設(shè)E是棱AB的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面CEC₁；（2）求平面D₁EC₁與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DD₁∥CC₁，AD∥CE，從而平面A₁DD₁A∥平面CEC₁，由此能證明MN∥平面CEC₁．
（2）平面D₁EC₁與平面ABCD所成角就是平面ABC₁D₁與平面ABCD所成的角，過(guò)C作CF⊥AB，交AB于F，連結(jié)C₁F，則∠CFC₁是平面D₁EC₁與平面ABCD所成角，由此能求出平面D₁EC₁與平面ABCD所成角的正切值．

解答 證明：（1）∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，
AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，
M、N分別是棱AA₁、AD的中點(diǎn)，設(shè)E是棱AB的中點(diǎn)，
∴DD₁∥CC₁，AD∥CE，
∵AD∩DD₁=D，CC₁∩CE=C，
AD，DD₁?平面A₁DD₁A，CC₁，CE?平面CEC₁，
∴平面A₁DD₁A∥平面CEC₁，
∵M(jìn)N?平面A₁DD₁A，∴MN∥平面CEC₁．
（2）平面D₁EC₁與平面ABCD所成角就是平面ABC₁D₁與平面ABCD所成的角，
∵CC₁⊥平面ABCD，過(guò)C作CF⊥AB，交AB于F，連結(jié)C₁F，
則∠CFC₁是平面D₁EC₁與平面ABCD所成角，
∵CC₁=AA₁=2，CE=BC=BE=2，CF=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠CFC₁=$\frac{C{C}_{1}}{CF}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∴平面D₁EC₁與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．