Question

10．已知直線l₁：mx-y=0，l₂：x+my-2m-2=0．
（1）證明：m取任何實數(shù)時，l₁和l₂的交點總在一個定圓C上；
（2）直線AB與（1）中的圓C相交于A，B兩點．
①若弦AB被點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）平分，求直線AB的方程；
②若直線AB經(jīng)過頂點（2，3），求使△ABC的面積取得最大值時的直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩條直線方程，消去m，即得到l₁和l₂的交點M的方程，判斷M總在一個定圓上即可；
（2）①k_CP=0，利用弦AB被點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）平分，可得直線AB的方程；②分類討論，利用點到直線的距離與半徑的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：由直線l₁：mx-y=0，l₂：x+my-2m-2=0，消去m可得x²+y²-2x-y=0，
方程表示一個以（1，$\frac{1}{2}$）為圓心，以$\frac{\sqrt{5}}{2}$為半徑的圓，
即M總在一個定圓上；
（2）解：①k_CP=0，若弦AB被點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）平分，則直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}$；
②斜率不存在時，直線AB的方程為x=2，y=0或1，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$；
斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-k+\frac{5}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即k²-10k+15=0，
∴k=5±$\sqrt{10}$，
此時，△ABC的面積取得最大值$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{5}{8}$＞$\frac{1}{2}$，
∴使△ABC的面積取得最大值時的直線AB的方程為y-3=（5±$\sqrt{10}$）（x-2）．

點評 本題通過恒過定點問題來考查學(xué)生方程轉(zhuǎn)化的能力及直線系的理解，曲線軌跡方程的求法，三角形的面積的最值的判斷，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．