19.如圖1,在直角梯形ADCE中,AD∥EC,∠ADC=90°,AB⊥EC,AB=EB=1,$BC=\sqrt{2}$.將△ABE沿AB折到△ABE1的位置,使∠BE1C=90°.M,N分別為BE1,CD的中點.如圖2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面ADE1;
(Ⅱ)求證:AM⊥E1C;
(Ⅲ)求平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值.

分析 (Ⅰ)由題意,以E1為原點,E1B為x軸,E1C為y軸,過E1作平面E1BC的直線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明AM⊥E1C.
(Ⅲ)求出平面AE1N的法向量和平面BE1C的法向量,利用向量法能求出平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)由題意,以E1為原點,E1B為x軸,E1C為y軸,過E1作平面E1BC的直線為z軸,
建立空間直角坐標系,
則M($\frac{1}{2}$,0,0),N(0,1,$\frac{1}{2}$),E1(0,0,0),A(1,0,1),D(0,1,1),
$\overrightarrow{MN}$=(-$\frac{1}{2}$,1,$\frac{1}{2}$),$\overrightarrow{{E}_{1}A}$=(1,0,1),$\overrightarrow{{E}_{1}D}$=(0,1,1),
設平面ADE1的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}A}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}D}=y+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,-1),
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}$=0,∴$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{n}$,
又MN?平面ADE1,∴MN∥平面ADE1
(Ⅱ)C(0,1,0),$\overrightarrow{AM}$=(-$\frac{1}{2}$,0,-1),$\overrightarrow{{E}_{1}C}$=(0,1,0),
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{{E}_{1}C}$=0,
∴AM⊥E1C.
解:(Ⅲ)$\overrightarrow{{E}_{1}A}$=(1,0,1),$\overrightarrow{{E}_{1}N}$=(0,1,$\frac{1}{2}$),
設平面AE1N的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}A}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}N}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$,取x=2,得$\overrightarrow{n}$=(2,1,-2),
又平面BE1C的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{3}$,
∴平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$.

點評 本題考查線面平行的證明,考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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