分析 (1)由余弦定理,得C1B=$\sqrt{2}$,由勾股定理得C1B⊥BC.由線面垂直得AB⊥BC1,由此能證明C1B⊥平面ABC.
(2)以B為空間坐標(biāo)系的原點,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時,二面角A-C1E-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
解答 解:(1)因為BC=$\sqrt{2}$,CC1=BB1=2,∠BCC1=$\frac{π}{4}$,
在△BCC1中,由余弦定理,得C1B=$\sqrt{2+4-2×2×\sqrt{2}×cos45°}$=$\sqrt{2}$,…(2分)
所以C1B2+BC2=CC12,即C1B⊥BC.
又AB⊥側(cè)面BCC1B1,故AB⊥BC1,
又CB∩AB=B,所以C1B⊥平面ABC. …(5分)
(2)由(1)知,BC,BA,BC1兩兩垂直,
以B為空間坐標(biāo)系的原點,建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則B(0,0,0),A(0,2,0),C($\sqrt{2}$,0,0),
$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=(0,2,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+λ$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=(-$\sqrt{2}$λ,0,$\sqrt{2}$λ-$\sqrt{2}$),
設(shè)平面AC1E的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}A}=2y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=\sqrt{2}λx+(\sqrt{2}-\sqrt{2}λ)z=0}\end{array}\right.$,
令z=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{m}$=($\frac{\sqrt{2}(λ-1)}{λ}$,1,$\sqrt{2}$),
平面C1EC的一個法向量$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),
∵BE=λBB1,確定λ的值,使得二面角A-C1E-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}(λ-1)}{λ})^{2}+3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
解得$λ=\frac{1}{2}$,
∴當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時,二面角A-C1E-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$.…(12分)
點評 本題考查線面垂直的證明,考查滿足二面角的余弦值的實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 4 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 3+2$\sqrt{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com