Question

14．已知四棱錐P-ABCD中，$\overrightarrow{AB}=（{4，-2，3}）$，$\overrightarrow{AD}=（{-4，1，0}）$，$\overrightarrow{AP}=（{-6，2，-8}）$，則點(diǎn)P到底面ABCD的距離為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{26}}}{13}$
• B． $\frac{{\sqrt{26}}}{26}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出平面ABCD的法向量，然后利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可．

解答 解：四棱錐P-ABCD中，$\overrightarrow{AB}=（{4，-2，3}）$，$\overrightarrow{AD}=（{-4，1，0}）$，$\overrightarrow{AP}=（{-6，2，-8}）$，設(shè)平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{4x-2y+3z=0}\\{-4x+y=0}\end{array}\right.$，
不妨令x=3，則y=12，z=4，
可得$\overrightarrow{n}$=（3，12，4）；
則$\overrightarrow{AP}=（{-6，2，-8}）$，在平面ABCD上的射影就是這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)，
所以h=|$\overrightarrow{AP}$||cos＜$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|-18+24-32|}{13}$=2；
所以該四棱錐的高為2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)到平面的距離公式的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．