【題目】在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于、兩點.

（1）求證：“如果直線過點，那么”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（1）設出A，B兩點的坐標根據(jù)向量的點乘運算求證即可，

（2）把（1）中題設和結(jié)論變換位置然后設出A，B兩點的坐標根據(jù)向量運算求證即可．

試題解析：

證明：（1）設過點的直線交拋物線于點，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，

直線與拋物線相交于點、，∴

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，其中

由得，則

又∵， ，∴

綜上所述，命題“如果直線過點，那么”是真命題.

（2）逆命題是：設直線交拋物線于、兩點，

如果，那么直線過點，

該命題是假命題.

例如：取拋物線上的點， .此時

直線的方程為，而不在直線上.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從甲、乙兩名學生中選拔一人參加射箭比賽，為此需要對他們的射箭水平進行測試.現(xiàn)這兩名學生在相同條件下各射箭10次，命中的環(huán)數(shù)如下：

甲

8

9

7

9

7

6

10

10

8

6

乙

10

9

8

6

8

7

9

7

8

8

(1)計算甲、乙兩人射箭命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標準差；

(2)比較兩個人的成績，然后決定選擇哪名學生參加射箭比賽.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線： ，直線與拋物線交于， 兩點.點 為拋物線上一動點，直線， 分別與軸交于， .

（I）若的面積為，求點的坐標；

（II）當直線時，求線段的長；

（III）若與面積相等，求的面積.

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【題目】若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（　　）
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=ex
D.y=x3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某兒童節(jié)在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．記兩次記錄的數(shù)分別為x，y．獎勵規(guī)則如下：
①若xy≤3，則獎勵玩具一個；
②若xy≥8，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶．
假設轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準備參加此項活動．

（1）求小亮獲得玩具的概率；
（2）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線： （）的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）長為，橢圓： （）的離心率為，且過拋物線的焦點.

（1）求拋物線和橢圓的方程；

（2）過定點引直線交拋物線于、兩點（在的左側(cè)），分別過、作拋物線的切線， ，且與橢圓相交于、兩點，記此時兩切線， 的交點為.

①求點的軌跡方程；

②設點，求的面積的最大值，并求出此時點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的長軸長為4，焦距為2 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）過動點M（0，m）（m＞0）的直線交x軸于點N，交C于點A，P（P在第一象限），且M是線段PN的中點，過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長QM交C于點B．
①設直線PM，QM的斜率分別為k，k′，證明 為定值；
②求直線AB的斜率的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形， ．

（1）證明： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=a（x﹣2）ex+lnx+ 在（0，2）上存在兩個極值點，則a的取值范圍為（ ）
A.（﹣∞，﹣ ）
B.（﹣ ， ）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，﹣ ）
D.（﹣∞，﹣ ）∪（﹣﹣ ，﹣ ）

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