Question

7．等差數(shù)列{a_n}中，a₂=2，數(shù)列{b_n}中，b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，b₄=4b₂．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a₂b₁-a₁b₁+a₃b₂-a₂b₂+…+a_n+1b_n-a_nb_n≤2017，求n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，先判斷{b_n}為等比數(shù)列，根據(jù)條件求出公比和公差，從而可求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n=a₂b₁-a₁b₁+a₃b₂-a₂b₂+…+a_n+1b_n-a_nb_n=b₁+b₂+…+b_n，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式得到2ⁿ⁺¹-2≤2017，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，
∴b_n-1=${2}^{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=${2}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2^d，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，則q=2^d，
∵b₄=4b₂，
∴q=2或q=-2（舍去），
∴d=1，
∴a₁=a₂-d=2-1=1，
∴a_n=n，
∴b_n=2ⁿ，
（Ⅱ）設(shè)T_n=a₂b₁-a₁b₁+a₃b₂-a₂b₂+…+a_n+1b_n-a_nb_n，
=b₁（a₂-a₁）+b₂（a₃-a₂）+…+b_n（a_n+1-a_n），
=b₁+b₂+…+b_n，
=2+2²+…+2ⁿ，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2
∵a₂b₁-a₁b₁+a₃b₂-a₂b₂+…+a_n+1b_n-a_nb_n≤2017，
∴2ⁿ⁺¹-2≤2017，
∴2ⁿ⁺¹≤2019＜2¹¹，
∴n+1＜11，
∴n＜10，
∴n的最大值9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列中的基本量，屬于中檔題