Question

17．已知函數(shù)f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞2時，若e^x•f（x）≥x²-2x+1對任意x≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=0時，f（x）=xe^-x+（x-2）e^x，f′（x）=（x-1）（e^x-e^-x），令f′（x）=0，解得x=0，1，進而可得其單調(diào)區(qū)間．
（2）令g（x）=e^x•f（x）-（x²-2x+1）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1．（x≥1）．g（1）=1-e^2-a∈（0，1）．g′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1）．令g′（x）=0，解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=$\frac{a}{2}$＞1．對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=xe^-x+（x-2）e^x，f′（x）=e^-x-xe^-x+e^x+（x-2）e^x=（x-1）（e^x-e^-x），
令f′（x）=0，解得x=0，1，
可得：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，0），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，1）．
（2）令g（x）=e^x•f（x）-（x²-2x+1）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1．（x≥1）．
g（1）=1-e^2-a∈（0，1）．
g′（x）=e^2x-a+2（x-2）e^2x-a-2x+3=（2x-3）（e^2x-a-1）．
令g′（x）=0，解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=$\frac{a}{2}$＞1．
①a＞3時，x₂＞x₁，可得x=$\frac{a}{2}$時g（x）取得極小值，$g（\frac{a}{2}）$=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a-3．令$g（\frac{a}{2}）$≥0，解得2≤a≤6．∴3＜a≤6．
②a=3時，x₂=x₁，可得x=$\frac{3}{2}$時g（x）取得極小值，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$＞0，滿足條件．
③2＜a＜3時，x₂＜x₁，可得x=$\frac{3}{2}$時g（x）取得極小值，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$＞0，滿足條件．
綜上可得：a的取值范圍是：（2，6]．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．