Question

16．在△ABC中tanA，tanB，tanC依次成等差數(shù)列，則B的取值范圍是[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知得2tanB=tanA+tanC＞0，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正切函數(shù)公式得tanAtanC=3，由（2tanB）²=tan²A+tan²C+2tanAtanC≥4tanAtanC=12，解得tanB≥$\sqrt{3}$，從而可求B的取值范圍．

解答 解：由已知得2tanB=tanA+tanC＞0（顯然tanB≠0，若tanB＜0，因為tanA＞0且tanC＞0，tanA+tanC＞0，這與tanB＜0矛盾），
又因為：tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=-$\frac{2tanB}{1-tanAtanC}$≠0，
所以：tanAtanC=3．
又因為：（2tanB）²=（tanA+tanC）²=tan²A+tan²C+2tanAtanC≥4tanAtanC=12，
因此：tan²B≥3，又tanB＞0，所以tanB≥$\sqrt{3}$，
可得：$\frac{π}{3}$≤B＜$\frac{π}{2}$，即B的取值范圍是[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
故答案為：[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正切函數(shù)公式，基本不等式，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．