Question

3．對?x∈（0，+∞）不等式（2x-2a+ln$\frac{x}{a}$）（-2x²+ax+5）≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值集合為{$\sqrt{5}$}．

Answer 1

分析 首先將條件轉(zhuǎn)化為對任意的x∈（0，+∞），不等式[（2x+lnx）-（2a+lna）]（-2x²+ax+5）≤0恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x+lnx，g（x）=-2x²+ax+5，由于f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故0＜x＜a時，（2x+lnx）-（2a+lna）＜0，則-2x²+ax+5≥0；x＞a時，（2x+lnx）-（2a+lna）＞0恒成立，則-2x²+ax+5≤0．再根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可求出a的范圍．

解答 解：∵對任意的x∈（0，+∞），不等式（2x-2a+ln$\frac{x}{a}$）（-2x²+ax+5）≤0恒成立，
∴對任意的x∈（0，+∞），不等式[（2x+lnx）-（2a+lna）]（-2x²+ax+5）≤0恒成立，
記f（x）=2x+lnx，g（x）=-2x²+ax+5，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
①當(dāng)0＜x＜a時，f（x）＜f（a），即（2x+lnx）-（2a+lna）＜0恒成立，則-2x²+ax+5≥0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=5≥0}\\{g（a）=-{a}^{2}+5≥0}\end{array}\right.$，得0＜a≤$\sqrt{5}$；
②當(dāng)x=a時，不等式顯然恒成立；
③當(dāng)x＞a時，f（x）＞f（a），即（2x+lnx）-（2a+lna）＞0恒成立，則-2x²+ax+5≤0，
∵g（x）=-2（x-$\frac{a}{4}$）²+$\frac{{a}^{2}}{8}$+5在（a，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x＞a時，g（x）＜g（a）=5-a²≤0，得a≤$\sqrt{5}$．
綜上可得，a=$\sqrt{5}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值集合為：$\{\sqrt{5}\}$．
故答案為：{$\sqrt{5}$}．

點(diǎn)評 本題考查了恒成立問題，轉(zhuǎn)化思想和分類討論是解決問題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．