Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁和C₂的參數(shù)方程分別是$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）和$\left\{\begin{array}{l}x=cosβ\\ y=1+sinβ\end{array}\right.$（β為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系；
（1）求圓C₁和C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）射線$OM：θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$與圓C₁的交點(diǎn)為O、P，與圓C₂的交點(diǎn)為O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓C₁的參數(shù)方程分別是$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．圓C₂的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=cosβ\\ y=1+sinβ\end{array}\right.$（β為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（2）把射線$OM：θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$代入分別圓C₁與圓C₂的極坐標(biāo)方程即可得出．

解答 解：（1）圓C₁的參數(shù)方程分別是$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
利用平方關(guān)系可得普通方程：（x-2）²+y²=4，展開為：x²+y²-4x=0，
可得極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
圓C₂的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=cosβ\\ y=1+sinβ\end{array}\right.$（β為參數(shù)），
利用平方關(guān)系可得普通方程：x²+（y-1）²=1，
展開為：x²+y²-2y=0，可得極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（2）把射線$OM：θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$代入圓C₁的極坐標(biāo)方程可得：ρ₁=4cosα．
把射線$OM：θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$代入圓C₂的極坐標(biāo)方程可得：ρ₂=2sinα．
|OP|•|OQ|=8cosα•sinα=4sin2α≤4，其最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程及其應(yīng)用、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．