Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-9x-3
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線l與直線x-9y+1=0垂直，求切線l的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數(shù)，求出斜率，利用直線的垂直關(guān)系求解切線方程即可．
（Ⅱ）求出導函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+6x-9
根據(jù)題意得$f'（{x_0}）=3{x_0}^2+6{x_0}-9=-9$；∴x₀=0或-2；
∴①當x₀=0時，f（x₀）=-3；∴切線方程為y=-9x-3；
②當x₀=-2時，f（x₀）=19；切線方程為y=-9x+1； 
綜上切線l方程為9x+y+3=0或  9x+y-1=0…（6分）
（Ⅱ）f'（x）=3（x+3）（x-1）；
令f'（x）＞0，則x＞1或x＜-3，令f'（x）＜0，則-3＜x＜1
∴f（x）的極大值為f（-3）=24，f（x）的極小值為f（1）=-8．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的極值的求法，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．